第135章 三等分法（2/2）

这些作品出自同一作者，根据广告显示，他还出版了：

《牛顿被其追随者一个半世纪的轻率所救》，以及《通过在夜幕降临或雾天根据（所谓的）陆标修正船位推算所带来的沿岸危险》，近乎售罄。恳请资助新版。

作者将圆的面积定为外接正方形的五分之四：其证明基于一项假设，并打算在更长的论文中解释。作为q. e. d.，该作者曾与《雅典娜神殿》杂志论战，并批评了一位署名d.的通讯员，该通讯员撰文反对某类发现者。他相信流体静力学的通行理论是错误的，他的问题之一是：

关于重力和万有引力，你可曾考虑到这一事实：一块五格令的立方软木会自行半沉于水中，而需要二十格令能自行下沉的黄铜才能将另一半拉入水中？朋友d.，你若能，请将这一点与你那套应用于构建万有引力定律的重力和比重观念调和看看。

《雅典娜神殿》刊登了此信——但省略了一些斜体字，为此编辑遭到尖锐指责，认为这已足够{12}作为此即待d.证明之命题的样本：作者对此评论道——d，——为何缺了e？是d撇吗？d, dm, dmo, dmonstrandum；我们看不出其中的。我猜想这暗指了假想作者的名字；但究竟是意在指德谟克里特、德摩斯梯尼还是棣莫弗，我不愿妄断。

《圣经历法与年代改革者》，适用于1849年法定年。包括对近期关于安息日问题出版物的评论。伦敦，1849年，十二开本。

这是一个守犹太安息日的基督教教派的年历，他们在古德曼田野的磨坊巷有一个礼拜堂。他们撰写论战作品，或许至今仍在进行；但我未曾得见。

《几何对决代数；或角的三等分之几何解法》。作者：w. 阿普顿，文学士。巴斯（约1849年）。八开本。

作者以此标题出版了两本小册子，包含不同的所谓证明：但均未提及变更。两本小册子包含相同的前言，抱怨英国科学协会拒绝审查其成果。我猜想作者发现第一个证明有误后，发明了第二个，而协会从未收到过第二个；他确信协会同样会拒绝审查第二个，便认为有理由{13}将这第二个证明当作他们曾拒绝的那个来呈现。阿普顿先生已发现计算周长的通行方法是错误的，若有闲暇便会纠正，同时，他已解决了倍立方问题。

一个角的三等分者，如果他希望引起任何数学家的注意，他就有义务从他的作图法中，给出用该角本身的正弦或余弦（且借助不高于平方根的运算）来表示其三等分角的正弦或余弦的表达式。数学家知道这是不可能的；但三等分者实际上声称这是可能的，并且有义务给出它，以节省时间。这是大多数着名问题求解者的不幸，他们没有足够的知识来展示他们结果的那些易于判断的推论。有时他们具备这些知识，却狡辩回避使用它。在许多情况下，一个人诚实地开始，并提交他确信是解法的东西。通过与他人交流，他最终感到不安，害怕真相，并让自尊心阻碍了它。不诚实有时随之而来。这类思考者作为一个群体，很容易想象数学家们是联合起来欺诈他们：我更应该说，他们中的每个人都默许其他人被对待的方式，却幻想自己是阴谋的受害者。这种阴谋妄想症是一个非常奇特的主题。我并非意指这些评论适用于我面前的这位作者。

阿普顿先生的一个三等分法，如果成立，将证明以下等式为真：

3 cos (θ \/ 3) = 1 + √(4 - sin2θ)

这显然是错误的。[34]

{14}

1852年，我应已故的沃利奇博士[35]的请求，审查了一个可怕的作图法，他急切地想说服他的一位可怜的同胞，角的三等分是浪费时间。其中一个原理是：量值和方向相互决定。该作图法等价于断言：对于任意角 θ，其三分之一角的余弦等于

sin 3θ · cos(5θ\/2) + sin2 θ · sin(5θ\/2)

除以

√[ sin2 3θ · cos2 (5θ\/2) + sin? θ + sin 3θ · sin 5θ · sin2 θ ]

的平方根。

这是根据我的粗略笔记，我相信是正确的。[36] 除非角度非常钝，否则它非常接近真实，以至于将普通绘图应用于该作图法时，无法检测出误差。这类公式有很多：我曾多次发现，一个思考者发现了相应的作图法，看到了他的绘图取得了近似成功——其精确度在图形实践中常常与绝对真实无异——然后他开始着手进行证明，在这个过程中他总是能让自己满意。

有一个三等分法，我既丢失了剪报也忘了出处：我想它是在《联合军种杂志》里。我未能在其中发现任何错误，尽管确信{15}必定存在一个。至少我发现，图中的两个部分是不相容的，除非某特定点与另外两点共线，而这样一来，待三等分的角——而且已经被三等分了——只能是0°或180°。

1866年8月22日。阿普顿先生坚持他的主题。他刚刚出版了《阿普顿氏三等分法。谨献给联合王国的校长们》。这似乎是一个新的尝试。他没有理会我用斜体标出的那句话：他也没有提及我对他的评论，除非他打算把我包括在那些嘲笑和讥讽给他打上无脑异端烙印的人之中。这两件事我都没做：我认为阿普顿先生是一位悖论者，值得向他明确提出现在用斜体标出的明确论断；而阿普顿先生觉得在这个问题上进行辩论并不方便。他更喜欢关于代数的一般性论断。只要他无法在上述问题上与代数对质，他尽可以写出尽可能多的恭敬的挑战给数学家：他不会得到任何关注。

有一个三等分问题比角的三等分更重要。很容易得到你书写所用纸张的一半作为页边空白；或者四分之一；但要得到三分之一却非常麻烦。向我们展示如何轻松且确定地将纸张折成三等分，你将成为社会真正的恩人。

本世纪初有一位土耳其的角三等分者，侯赛因·埃芬迪，他发表了两种方法。他是阿明·贝伊的父亲，三十年前阿明·贝伊在英国以极其和蔼可亲、有教养的绅士和优秀的数学家而闻名。他当时是剑桥的学生；多年前，他在指挥叙利亚军队时去世。侯赛因·埃芬迪的数学由英格利兹·塞利姆·埃芬迪教授，后者将博尼卡斯尔[37]的一部着作{16}翻译成了土耳其语。[38] 这个英国人是理查德·贝利，天文学家弗朗西斯·贝利[39]的兄弟，他年轻时移居土耳其，并接受了土耳其人的风俗习惯，但我从未听说他是否也皈依了他们的宗教，尽管我猜想他确实如此。