第588章 代数几何的基因升华（1/2）

因果信标发出的光芒在类型空间里显得格外刺眼。

那个模糊的代数几何结构在光中旋转、展开，像是一朵由方程组成的花，每一片花瓣都是一个多项式，每一条脉络都是一个代数关系。

陈凡盯着那画面，心里头有点发毛。

之前那些学派好歹还先打个招呼，这个代数几何一来就是要“追溯数学根源”，听起来就像是要把他放在显微镜底下解剖，还得是数学显微镜。

“代数几何学派……它们很少主动介入这种争端。”

路径构造者的声音有些沉重，“它们研究的是数学中最根本的结构关系。如果它们认为某个存在‘数学上不健全’，那几乎就是最终判决。”

建构主义代表咔哒咔哒地说：“但它们通常只看重‘存在性’和‘结构性’。自由意志……在代数几何框架下，可能会被看作一个‘代数簇’——一组多项式的公共解集。问题是，描述自由意志的多项式方程存在吗？”

模糊数学代表飘动着：“如果存在，那么自由意志就是可代数化的。如果不存在……”

“如果不存在，”

直觉主义代表接话，声音里带着罕见的严肃，“那么自由意志就是数学上的‘幽灵’，没有坚实的数学根基。代数几何学派有权将其判定为‘非数学存在’，驱逐出数学宇宙。”

萧九跳起来：“喵！它们凭什么驱逐凡哥！本喵第一个不答应！”

冷轩的剑已经出鞘三分：“那就战。”

陈凡摇摇头：“先看看情况。代数几何和之前的学派不同，它们更像是……研究者，不是审判者。也许有对话的空间。”

话音刚落，类型空间开始变化。

不是某一部分变化，而是整个空间的结构在重新组织。

原本漂浮的类型气泡开始排列成整齐的阵列，彼此之间出现清晰的连接线。

路径构造者身体中的路径自动伸直、对齐，形成一个规范的网格。

就连空气中流动的数学概念，也都开始按某种秩序排列。

“这是……仿射空间的结构化。”

路径构造者惊讶地说，“代数几何学派还没真正到来，只是它们存在的‘场’在影响这里。”

紧接着，空间中浮现出一些“点”。

不是普通的点，而是“代数点”——每个点都附带着坐标信息，但这些坐标不是实数，而是某种代数扩张域中的元素。

有的点坐标是整数，有的是有理数，有的是代数数，还有的……是“未定元”，像是等待赋值的变量。

从这些点中，生长出“曲线”。

不是画出来的曲线，而是由多项式方程定义的曲线。

每条曲线都在空间中延伸，与其他曲线相交、相切、或者平行。

交点处产生新的点，新的点又生成新的曲线……

很快，整个类型空间变成了一个巨大的代数几何图景。

而在这图景中央，缓缓浮现出三个存在。

第一个存在看起来像是一个“概形”——那是代数几何中的核心概念，可以看作是一个几何空间与其上的函数环的组合。

它的身体由无数个“仿射开集”拼接而成，每个开集上都定义着不同的正则函数环。

第二个存在则是一个“层”——这是一种在空间每个开集上指定一个代数结构（比如阿贝尔群、环、模）的方法。

它的形态不断变化，像是一层覆盖在空间上的薄膜，但薄膜的每个局部都有复杂的代数结构。

第三个存在最抽象，它是一个“上同调群”——这是代数几何中研究空间整体性质的工具。

它看起来像是一组阿贝尔群的序列，每个群都由“闭链模去边缘链”得到，序列之间有同态连接。

这三个存在没有立刻说话，而是在“观察”陈凡。

不是用眼睛看，而是用代数几何的方法：它们在计算陈凡的“代数不变量”。

“检测对象：陈凡。”

概形存在首先开口，声音像是多项式在环中的运算，“开始计算算术亏格……”

层存在接话：“计算层上同调群h?、h1、h2……”

上同调群存在：“计算陈类、示性类、相交数……”

陈凡感觉自己的身体——或者说存在结构——正在被“扫描”。

不是扫描外表，而是扫描数学本质。他能感觉到，自己的不动点特性被表示成了某个代数方程的解集，自由意志的选择过程被建模成一组多项式方程的动力系统，甚至他和苏夜离的依赖关系也被表达为一个“依值层”……

这种感觉很诡异。就像你活得好好的，突然有人把你拆解成一堆数学符号，然后开始研究这些符号的性质。

“停一下。”陈凡终于忍不住开口，“你们在做什么？”

三个存在同时停下计算。

概形存在：“我们在计算你的代数几何不变量。通过这些不变量，可以判断你的数学本质是否健全。”

层存在：“初步计算显示，你的‘自由意志代数簇’不是光滑的，有奇点。这些奇点对应着你选择过程中的‘未定义时刻’。”

上同调群存在：“更严重的是，你的‘上同调群’不满足有限生成性。这意味着你的数学结构中有‘无限复杂’的部分，无法用有限代数工具完全描述。”

陈凡听不太懂这些术语，但能听出问题：“所以呢？有奇点、不光滑、无限复杂……这些是坏事？”

“在代数几何中，我们追求优美、光滑、有限生成的代数簇。”

概形存在解释，“奇点需要被消解，无限复杂需要被有限逼近。你的存在……在代数几何意义上需要‘正规化’。”

苏夜离挡在陈凡面前：“什么叫正规化？你们想对凡哥做什么？”

层存在：“正规化就是通过适当的代数变换，将一个代数簇变成正规的——没有嵌入点，没有非正规点。对于陈凡来说，这意味着需要消除自由意志中的‘未定义时刻’，使其选择过程完全由代数方程描述。”

上同调群存在补充：“同时需要找到他的‘有限生成上同调群’，这意味着需要为他的无限复杂部分找到一个有限维的近似。”

陈凡听明白了：“你们想把我变成……完全确定的、有限复杂的代数对象？”

“不是变，是揭示你的本质。”

概形存在说，“如果自由意志真有数学根基，那么它应该可以被一个优美的代数簇描述。我们的任务就是找到——或者构造——这个代数簇。”

林默小声对陈凡说：“听起来像是要把你‘代数化’。如果成功，你就成了一个数学对象，自由意志就成了这个对象的某个性质。”

冷轩冷冷道：“如果失败呢？”

“如果找不到这样的代数簇，”

曾存在说，“那么自由意志就是数学上的幻象，应该被清除。”

萧九炸毛了：“喵！你们这群数学疯子！本喵挠死你们！”

她扑向概形存在，但爪子直接穿过去了——概形存在不是实体，是代数结构。

上同调群存在轻轻一挥手，萧九就被一个“复形”困住了——那是一系列阿贝尔群和同态构成的序列，把她困在序列的某个位置，动弹不得。

“萧九！”陈凡想冲过去，但发现自己也被困住了。

不是物理困住，而是代数困住。

他的周围出现了一个“理想”——代数意义上的理想，一个多项式环的子集，满足某些性质。

这个理想定义了一个代数簇，而这个代数簇正好把他围在里面。

“别紧张。”概形存在说，“我们只是需要你配合进行一些测试。这些测试不会伤害你——至少不会物理伤害。它们只会揭示你的数学本质。”

陈凡强迫自己冷静：“什么测试？”

“基因测序测试。”曾存在说，“在代数几何中，每个代数簇都有其‘基因’——定义它的多项式方程组。我们要找到定义你的多项式组。”

上同调群存在：“测试方法：我们会构建一系列代数环境，观察你在其中的行为，然后逆向推导出描述你行为的多项式方程。”

陈凡突然想起一件事：“等等。如果自由意志真的是自由的，那它的选择就不能被多项式方程完全预测。这是不是意味着，你们永远找不到完整描述我的多项式组？”

三个存在沉默了。

过了一会儿，概形存在说：“这是一个假设。我们需要验证。如果验证为真……那将是一个有趣的数学发现：存在不能被代数化的数学现象。”

层存在：“但更可能是我们还没找到正确的多项式。数数几何的力量很强大，大多数数学结构都可以被数数化。”

上同调群存在：“开始测试吧。第一个环境：仿射直线。”

周围的空间变成了最简单的代数几何对象——一条直线。

但这直线上的点不是均匀分布的，而是按照代数结构分布：整数点、有理点、代数点、超越点……

“请在这条直线上选择一个点。”概形存在说。

陈凡看着这条直线。

直觉告诉他，这个选择会被用来推导多项式方程。

如果他选了一个有理点，多项式系数可能是有理数；如果选了超越点，可能需要超越系数……

他想了想，选了一个点——不是任何特殊点，就是“随便一个点”。

三个存在开始计算。

“点坐标无法用有限代数式表示。”

层存在记录，“需要引入未定元。”

“记录选择函数：f?(x) = ?”上同调群存在说，“

继续测试。第二个环境：仿射平面。”

直线扩展成平面。平面上有各种代数曲线：圆、椭圆、双曲线、抛物线……

“请选择一条曲线。”概形存在说。

陈凡看着那些曲线。如果按理性，应该选最简单的圆。

但他偏不——他选了一条看起来最复杂的曲线，一条有多个奇点的奇异曲线。

“记录：偏好奇异曲线。”

曾存在说，“这可能对应自由意志中的‘异常偏好’。”

测试继续进行。

陈凡被带入一个个代数环境：射影空间、代数曲面、三维簇、高维簇……在每个环境中，他都被要求做出选择。这些选择被记录下来，形成数据。

三个存在不断计算，试图从这些数据中反推出定义陈凡的多项式组。

但问题渐渐出现了。

陈凡的选择模式……不一致。

在相似的环境中，他有时选a有时选b。甚至在同一环境中重复测试，他的选择也会变化。

“数据噪声太大。”概形存在说，“需要更多样本。”

“或者，”层存在说，“他的选择根本就不是由多项式决定的。可能是随机过程，或者……”

“或者是真正的自由意志。”

上同调群存在接话，“但我们需要证明。继续测试，增加环境复杂度。”

测试升级了。

不再是简单的选择点或曲线，而是更复杂的“代数几何决策问题”。

比如：“在给定的代数簇上，选择一个有理点集，使得这个点集构成一个阿贝尔群。”

或者：“给定一组代数曲线，选择一条，使其与其他所有曲线的相交数之和最小。”

这些问题有数学上的“最优解”，但陈凡往往不选最优解。

“记录：偏离数学最优解63%的情况。”曾存在说，“这些偏离有模式吗？”

上同调群存在分析：“偏离的模式本身……似乎也没有模式。这是双重随机吗？”

测试进行了很久。

陈凡感到疲惫。

不是身体累，而是精神上的累——不断地被分析、被计算、被试图代数化。

苏夜离他们也被迫参与测试。