第316章 世纪望远镜与几何模型（2/2）
方法：
1672年，卡西尼在巴黎，里歇尔在法属圭亚那（南美洲）同时观测火星。
两地的距离（基线 \\( b \\)）由地球半径和纬度计算。
测量火星视差角 \\( p \\)（相对于背景恒星的位置偏移）。
计算：
\\[
d_{\\text{火星}} = \\frac{b}{\\tan p} \\approx \\frac{b}{p}
\\]
已知地球半径 \\( r_\\oplus \\approx 6371 \\text{ km} \\)，巴黎与圭亚那的纬度差可计算基线 \\( b \\approx 7000 \\text{ km} \\)。
测得 \\( p \\approx 24 \\text{角秒} \\approx 0.0067° \\approx 0.000117 \\text{弧度} \\)。
因此：
\\[
d_{\\text{火星}} \\approx \\frac{7000 \\text{ km}}{0.000117} \\approx 60 \\times 10^6 \\text{ km}
\\]
根据开普勒第三定律，火星轨道半径 \\( a_{\\text{火星}} \\approx 1.52 \\text{ au} \\)，因此：
\\[
1 \\text{ au} = \\frac{60 \\times 10^6 \\text{ km}}{1.52} \\approx 39.5 \\times 10^6 \\text{ km}
\\]
（现代值：1 au ≈ 149.6x10? km，误差约 35%，但这是第一次物理测量。）
（5）更精确的测量：金星凌日法（18世纪）
原理：观测金星从太阳表面经过的时间差（不同地点观测）。
1761 & 1769年，全球科学家合作测量，得到：
\\[
1 \\text{ au} \\approx 153 \\times 10^6 \\text{ km} \\quad (\\text{误差约2%})
\\]
3. 现代精确值
雷达测距（20世纪后）：向金星发射雷达信号，测量回波时间，计算：
\\[
1 \\text{ au} = 149,597,870.7 \\text{ km} \\quad (\\text{国际天文学联合会定义})
\\]
地球公转轨道直径：
\\[
2 \\text{ au} \\approx 299,195,741 \\text{ km}
\\]
4. 总结
1. 17世纪方法：
利用火星视差（两地观测）计算火星距离。
结合开普勒第三定律推算日地距离（1 au）。
卡西尼的测量（1672年）得到 1 au ≈ 39.5x10? km（误差较大）。
2. 18世纪改进：
金星凌日法（1761\/1769）提高精度至 1 au ≈ 153x10? km。
3. 现代方法：
雷达测距精确测定 1 au = 149,597,870.7 km。
关键结论
地球轨道直径（2 au）的测量依赖于三角视差法和行星运动定律。
17世纪科学家（如卡西尼）首次用几何方法计算日地距离，尽管误差较大，但奠定了现代天体测量学的基础。
现代值由雷达技术精确测定，但17世纪的方法仍然是科学史上的重要里程碑。
开普勒第三定律（调和定律）详解：
开普勒第三定律是描述行星轨道运动的基本规律之一，揭示了行星轨道周期与轨道大小之间的数学关系。以下是详细解析：
1. 开普勒第三定律的表述
＞ 行星公转周期的平方（t2）与其轨道半长轴的立方（a3）成正比。
＞ 数学表达式：
＞ \\[
＞ \\boxed{ \\frac{t^2}{a^3} = \\text{常数} }
＞ \\]
＞ （适用于围绕同一中心天体运动的所有行星）
关键概念
t：行星绕太阳的公转周期（单位：年或秒）。
a：轨道半长轴（即平均轨道半径，单位：au或米）。
常数：仅取决于中心天体（太阳）的质量，与行星无关。
2. 定律的物理意义
轨道越大，周期越长：
行星离太阳越远（a越大），公转一周所需时间（t）越长。
例如：地球（1 au）公转周期 = 1年，火星（1.52 au）≈ 1.88年。
定量关系：
\\[
t^2 \\propto a^3 \\quad \\rightarrow \\quad t \\propto a^{1.5}
\\]
周期随轨道尺寸呈1.5次方增长。
3. 数学推导（牛顿万有引力扩展）
开普勒第三定律可通过牛顿万有引力定律和圆周运动公式推导：
1. 引力提供向心力：
\\[
\\frac{gmm}{a^2} = \\frac{mv^2}{a}
\\]
\\( g \\)：万有引力常数
\\( m \\)：太阳质量
\\( m \\)：行星质量（可约去）
\\( v \\)：行星轨道速度
2. 速度与周期关系（圆周运动）：
\\[
v = \\frac{2\\pi a}{t}
\\]
3. 联立方程：
\\[
\\frac{gm}{a^2} = \\left( \\frac{2\\pi a}{t} \\right)^2 \\cdot \\frac{1}{a}
\\]
化简后得到：
\\[
\\boxed{ \\frac{t^2}{a^3} = \\frac{4\\pi^2}{gm} }
\\]
常数 \\( \\frac{4\\pi^2}{gm} \\) 仅由太阳质量决定。
4. 实际应用
（1）计算行星轨道周期
例子：已知火星轨道半长轴 \\( a = 1.52 \\text{ au} \\)，求其公转周期 \\( t \\)。
地球的 \\( t_{\\text{地}} = 1 \\text{年} \\)，\\( a_{\\text{地}} = 1 \\text{ au} \\)。
根据开普勒第三定律：
\\[
\\frac{t_{\\text{火}}^2}{1.52^3} = \\frac{t_{\\text{地}}^2}{1^3} \\quad \\rightarrow \\quad t_{\\text{火}} = \\sqrt{1.52^3} \\approx 1.88 \\text{年}
\\]
（2）测定太阳系外行星轨道
观测恒星的周期性摆动（多普勒效应），推算行星的 \\( t \\)。
利用 \\( t^2 \\propto a^3 \\)，计算行星轨道半长轴。
5. 注意事项
1. 严格适用于椭圆轨道：
半长轴 \\( a \\) 取代圆形轨道的半径 \\( r \\)。
2. 中心天体质量必须固定：
若比较不同恒星系统的行星，常数 \\( \\frac{4\\pi^2}{gm} \\) 会变化。
3. 忽略其他行星干扰：
实际中，行星间的引力摄动会导致微小偏差。
6. 总结
要点 说明
定律核心 ( t^2 \\propto a^3 )（周期平方与半长轴立方成正比）
适用范围 围绕同一中心天体的所有行星（如太阳系行星）
推导基础 牛顿万有引力定律 + 圆周运动
实际应用 计算行星轨道、探测系外行星
与第一、二定律关系 第一定律（椭圆轨道）、第二定律（面积速度）共同描述行星运动，第三定律定量化
一句话记忆：
“离得越远，转得越慢，且 \\( t^2 \\) 和 \\( a^3 \\) 严格成正比！”
直径和周长区别：
地球的轨道直径（2 au）和地球的周长（约 40,075 km）是两个完全不同的概念，轨道直径并非从地球周长推算而来，而是通过天文观测和几何测量独立确定的。
地球周长的测量（古希腊时代）
埃拉托斯特尼（公元前240年）
方法：比较不同地点太阳影子的角度差异。
在夏至日，亚历山大港（a）和赛伊尼（s）的太阳影子角度差 ≈ 7.2°（对应地球中心角）。
已知两城距离 ≈ 800 km（商队测量）。
计算地球周长：
[
c = \\frac{360°}{7.2°} \\times 800 \\text{ km} \\approx 40,000 \\text{ km}
]
误差仅1%，与现代值（40,075 km）接近。
现代精确测量（卫星、激光测距）
地球赤道周长 = 40,075.017 km（wgs84标准）。
极地周长 ≈ 40,008 km（因地球略扁）。
地球轨道直径的测量（天文方法）
（1）火星视差法（17世纪）
1672年，卡西尼和里歇尔分别在巴黎和法属圭亚那观测火星，测量其视差角，推算火星距离。
结合开普勒第三定律，计算日地距离（1 au）。
最终得出：轨道半径 ≈ 1 au → 直径 = 2 au。
1. 17世纪：火星视差法（首次物理测量）
（1）1672年卡西尼里歇尔实验
方法：
法国天文学家乔凡尼·卡西尼（巴黎）和让·里歇尔（法属圭亚那）同时观测火星。
测量两地观测火星的视差角（视角差异）。
利用地球半径推算基线（两地距离），再计算火星距离。
计算：
[
d_{\\text{火星}} = \\frac{b}{\\tan p} \\approx \\frac{b}{p}
]
基线（b） ≈ 7,000 km（巴黎到圭亚那的距离）。
视差角（p） ≈ 24角秒（0.0067°）。
计算得火星距离 ≈ 6,000万 km。
推算日地距离（1 au）：
根据开普勒第三定律，火星轨道半径 ≈ 1.52 au，因此：
[
1 \\text{ au} = \\frac{60,000,000 \\text{ km}}{1.52} \\approx 39,500,000 \\text{ km}
]
误差：比现代值（1 au ≈ 1.496亿 km）小约35%，但首次实现物理测量。
2. 18世纪：金星凌日法（精度提升）
（1）1761 & 1769年全球观测
方法：
观测金星从太阳表面经过的时间差（不同地点）。
利用三角学计算金星距离，再推算日地距离。
结果：
[
1 \\text{ au} \\approx 153,000,000 \\text{ km} \\quad (\\text{误差约2%})
]
几何关系涉及三个关键量：
在恒星视差测量中，几何关系涉及三个关键量：恒星距离（\\( d \\)）、地球轨道半径（基线 \\( b \\)）和视差角（\\( \\theta \\)）。只要知道其中任意两个量，就可以计算出第三个。以下是具体说明：
1. 基本公式
三者的关系由视差角的定义决定（小角度近似）：
\\[
\\theta \\approx \\frac{b}{d}
\\]
其中：
\\( \\theta \\) 为视差角（单位为弧度），通常很小（角秒级），因此适用小角度近似。
\\( b \\) 是基线长度（地球轨道半径约 1 au，即 \\( 1.496 \\times 10^8 \\) km）。
\\( d \\) 是恒星距离。
单位转换：若 \\( \\theta \\) 以角秒（arcsecond）为单位，需转换为弧度（\\( 1 \\text{ arcsec} = \\frac{\\pi}{} \\text{ radians} \\)），公式变为：
\\[
d = \\frac{b}{\\theta}
\\]
（此时 \\( d \\) 的单位与 \\( b \\) 相同，例如 au）。
2. 已知任意两个量求第三个
(a) 已知 \\( b \\) 和 \\( \\theta \\)，求 \\( d \\)
直接代入公式：
\\[
d = \\frac{b}{\\theta}
\\]
示例：
若 \\( \\theta = 1 \\) 角秒，\\( b = 1 \\) au，则 \\( d = 1 \\) 秒差距（parsec，约 \\( 3.26 \\) 光年）。
(b) 已知 \\( d \\) 和 \\( \\theta \\)，求 \\( b \\)
变形公式：
\\[
b = \\theta \\cdot d
\\]
应用场景：
若已知恒星距离和视差角，可反推基线的有效长度（如验证观测设备精度）。
(c) 已知 \\( d \\) 和 \\( b \\)，求 \\( \\theta \\)
\\[
\\theta = \\frac{b}{d}
\\]
应用场景：
设计天文观测时，预估视差角大小以选择合适分辨率的仪器。
3. 注意事项
1. 小角度近似：公式 \\( \\theta \\approx b\/d \\) 仅在 \\( \\theta \\) 极小时成立（通常适用于恒星距离远大于基线的情况）。
2. 单位一致性：确保 \\( \\theta \\) 以弧度为单位（或转换角秒），否则需调整公式。
3. 实际测量限制：
地面观测受大气扰动限制，视差法通常适用于近距恒星（\\( d ＜ 1000 \\) 光年）。
空间望远镜（如 gaia）可测量更微小的视差角（微角秒级）。
总结
三者构成直接的几何关系，只要明确其中两个量，第三个量即可通过数学推导得出。这一原理是天文距离测量的基石之一，尤其在视差法测距中广泛应用。
实际应用计算步骤：
在17世纪，利用地球公转轨道直径（基线）和恒星视差角（( \\theta )）计算恒星距离的原理，是天体测量学的一项重大突破。虽然当时的技术无法直接测出恒星视差（直到19世纪才首次成功），但理论框架已由伽利略、惠更斯等人提出。以下是这一方法的详细数学和物理原理，以及实际操作中的计算步骤：
一、核心概念与公式
1. 视差法（三角视差法）的基本原理
定义：观测同一颗恒星在地球公转轨道两端（如相隔半年）的位置变化，其视线方向的夹角称为周年视差角（\\( \\theta \\)）。
几何关系：恒星距离（\\( d \\)）、地球轨道半径（基线 \\( b \\)）、视差角（\\( \\theta \\)）构成一个直角三角形，满足：
\\[
\\tan \\theta = \\frac{b}{d} \\quad \\rightarrow \\quad d = \\frac{b}{\\tan \\theta} \\approx \\frac{b}{\\theta} \\quad (\\text{当} \\theta \\text{很小时，单位为弧度})
\\]
若 \\( \\theta \\) 以角秒（″）为单位，则公式转换为：
\\[
d = \\frac{1}{\\theta} \\text{ 秒差距（parsec, pc）}
\\]
1秒差距 = 恒星视差为1角秒时的距离 ≈ 3.26光年。
2. 参数来源
基线（\\( b \\)）：地球公转轨道的平均半径（1天文单位，au），约1.496x10? km。实际测量中，基线取轨道直径（2 au）。
视差角（\\( \\theta \\)）：通过望远镜观测恒星在天空中的位置偏移量（需扣除仪器误差和大气干扰）。
二、实际操作中的计算步骤
1. 测量视差角（\\( \\theta \\)）
方法：
1. 在时间点\\( t_1 \\)（如1月1日）和\\( t_2 \\)（7月1日，相隔半年）分别测量恒星相对于背景遥远天体的位置偏移。
2. 记录两次观测中恒星的角位移（\\( 2\\theta \\)），则单次视差角为 \\( \\theta \\)。
关键工具：
望远镜：放大恒星与背景的微小偏移（如伽利略望远镜分辨率约30″，但实际视差角通常＜1″）。
测微器：测量角位移的精密装置（如17世纪后期可达角秒级精度）。
示例：若观测到某恒星半年内偏移1″，则 \\( \\theta = 0.5″ \\)。
2. 计算距离（\\( d \\)）
公式转换：
地球轨道半径 \\( b = 1 \\text{ au} \\)，视差角 \\( \\theta \\) 以弧度为单位时：
\\[
d = \\frac{b}{\\theta} \\text{ au}
\\]
若 \\( \\theta \\) 以角秒为单位（1弧度 ≈ ″），则：
\\[
d = \\frac{}{\\theta} \\text{ au} = \\frac{1}{\\theta} \\text{ pc}
\\]
代入数据：
对 \\( \\theta = 0.5″ \\) 的恒星：
\\[
d = \\frac{1}{0.5} = 2 \\text{ pc} \\approx 6.52 \\text{ 光年}
\\]
三、17世纪的技术挑战与替代方法
1. 为何无法直接测量恒星视差？
仪器限制：17世纪望远镜角分辨率约30″，而最近恒星（如半人马座a星）视差仅0.76″，无法分辨。
大气扰动：地面观测受大气折射影响，掩盖微小角度变化。
2. 替代方案：间接估算
惠更斯的日地距离估算：
通过观测火星视差（1672年巴黎与法属圭亚那同步观测），结合几何模型计算基线（地球半径）与火星距离，再推导日地距离（au）。
公式：
\\[
d_{\\text{火星}} = \\frac{b_{\\text{地球}}}{\\theta_{\\text{火星}}} \\quad \\rightarrow \\quad 1 \\text{ au} \\approx d_{\\text{火星}} b_{\\text{地球}}
\\]
牛顿的理论推导：在《自然哲学的数学原理》中，通过开普勒第三定律和万有引力估算天体距离比例。
四、数学推导示例
1. 小角度近似
当 \\( \\theta \\) 极小（如1″ = 4.85x10??弧度）时，\\( \\tan \\theta \\approx \\theta \\)，因此：
\\[
d \\approx \\frac{b}{\\theta} = \\frac{1 \\text{ au}}{4.85 \\times 10^{6}} \\approx
\\text{ au} = 1 \\text{ pc}
\\]
这与现代定义一致。
2. 误差分析
若测量 \\( \\theta \\) 有10%误差（如0.55″而非0.5″），距离误差：
\\[
\\delta d = \\left| \\frac{1}{0.55} \\frac{1}{0.5} \\right| \\approx 0.18 \\text{ pc} \\quad (\\text{约18%})
\\]
说明高精度测角对距离计算至关重要。
五、历史意义与现代发展
17世纪贡献：尽管未能直接测出恒星视差，但奠定了理论框架和几何方法。
现代应用：
欧洲空间局（esa）的盖亚卫星（gaia）测量恒星视差精度达0.01毫角秒（μas），可测10万光年外的距离。
公式仍沿用 \\( d = 1\/\\theta \\)（pc），但需修正相对论效应和星际消光。
总结
17世纪的视差法原理基于简单的三角几何，但受限于技术，天文学家只能通过间接手段（如行星视差）逼近计算。其核心思想——用已知基线（地球轨道）和测量角度推导距离——至今仍是天体测距的黄金标准。这一过程体现了“观测—模型—计算”的科学方法论，为现代宇宙学奠定了基础。