第135章 角动量（1/2）

角动量：定义、物理意义与宇宙中的应用

角动量（angr momentum）是描述物体旋转运动的物理量，类似于线性动量（\\( \\mathbf{p} = m\\mathbf{v} \\)），但针对的是转动。它是理解天体运动（如行星公转、星系自转）和量子力学（如电子轨道）的核心概念。

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1. 角动量的基本定义

(1) 经典力学中的角动量

对于单个质点绕某参考点旋转：

[

\\mathbf{l} = \\mathbf{r} \\times \\mathbf{p}

]

- \\( \\mathbf{l} )：角动量（矢量，方向由右手定则确定）。

- \\( \\mathbf{r} )：质点到旋转轴的位移矢量。

- \\( \\mathbf{p} = m\\mathbf{v} )：质点的线性动量。

标量形式（当( \\mathbf{r} )与( \\mathbf{v} )垂直时）：

[

l = mvr

]

- \\( v )：切向速度。

- \\( r )：旋转半径。

示例：

- 地球绕太阳公转：

( l = m_{\\text{地}} \\cdot v_{\\text{轨道}} \\cdot r_{\\text{日地}} ) ≈ ( 2.7 \\times 10^{40} , \\text{kg·m}^2\/\\text{s} )。

(2) 刚体的角动量

对于绕固定轴旋转的刚体（如陀螺、恒星）：

[

\\mathbf{l} = i \\boldsymbol{\\omega}

]

- \\( i )：转动惯量（与质量分布有关，( i = \\sum m_i r_i^2 )）。

- \\( \\boldsymbol{\\omega} )：角速度矢量（方向沿旋转轴）。

示例：

- 太阳自转：

赤道角速度 ( \\omega \\approx 2.9 \\times 10^{-6} , \\text{rad\/s} )，角动量 ( l \\approx 10^{42} , \\text{kg·m}^2\/\\text{s} )。

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2. 角动量守恒定律

(1) 守恒条件

若系统不受外力矩（( \\boldsymbol{\\tau} = \\frac{d\\mathbf{l}}{dt} = 0 )），则总角动量守恒：

[

\\mathbf{l}_{\\text{初}} = \\mathbf{l}_{\\text{末}}

]

(2) 典型现象

1 冰上旋转的滑冰者

- 收拢手臂（减小\\( i )）→ 角速度\\( \\omega )增大（因( l = i\\omega )守恒）。

2 行星轨道